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輻射の半古典論 (1)

これまで、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンを計算してきたのは、
電場振動ではなく、輻射場(電磁波)による遷移
きちんと計算しようという意図でした。

ただ、ほんとにきちんとやるには、
輻射場自体をハミルトニアンに入れて、場の量子化を行わないといけないのですが、
今回は、まだ輻射場を古典的に導入する「半古典論」と呼ばれる方法です。

まずは、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン
\[
H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi
\tag{1}
\]

これを用いて、時間依存シュレディンガー方程式は
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
\frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi + V
\right] \psi
\tag{2}
\]
φは、輻射場のポテンシャル、
V は、輻射場以外の電荷を束縛しているポテンシャルと考える。

ここで、p は正準運動量なので、正準量子化の手続きに従って、
運動量演算子に置き換えることができる。
\[
{\bf p} = -i\hbar \nabla
\tag{3}
\]
さらに、
\[
\nabla\cdot({\bf A}\psi) = (\nabla\cdot{\bf A})\psi + {\bf A}\cdot\nabla\psi
\tag{4}
\]
であることに注意して、(1)を展開すると、
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
+ \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{ie\hbar}{2mc}(\nabla\cdot{\bf A})
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2
+ e\phi + V
\right] \psi
\tag{5}
\]
となる。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/02/27 12:26
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