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輻射ゲージ (1)

電荷のない自由空間(ρ=0)においては、
ゲージ変換の自由度を使って、一般性を失わずに、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\tag{1}
\]\[
\phi = 0
\tag{2}
\]
の両方を満足させることができることを示す。

ゲージ変換
\[
\phi' = \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{3.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla\chi
\tag{3.2}
\]
任意関数χとして、
\[
\chi = \chi_0 + g({\bf r})
\tag{4}
\]
を選ぶ。ただし、χ0 は以下を満たす関数で、
\[
\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_0}{\partial t} = \phi
\tag{5}
\]
g(r) は空間のみに依存する関数。

(3.1)により変換されたスカラーポテンシャルは、
\[
\phi' = \phi - \frac{\partial \chi_0}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial t}g({\bf r}) = 0
\]
となり、(2) を満たす

次に、(3.2)の変換を考える。
\[
\nabla\cdot{\bf A}'
= \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi \\
= \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi_0 + \nabla^2 g({\bf r})
\tag{6}
\]

マックスウェル方程式において、ρ=0 とすると、
\[
\nabla^2\phi + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = 0
\tag{7}
\]
(5)式を用いると、
\[
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi_0) = 0
\tag{8}
\]
と変形できて、上式の括弧の中身は、空間のみの関数となる。
そこで、任意関数 $g({\bf r})$ を
\[
\nabla^2 g({\bf r}) = -\nabla\cdot{\bf A} - \nabla^2\chi_0
\tag{9}
\]
となるように取れば、(6)より
\[
\nabla\cdot{\bf A}' = 0
\]
となり、(1)も満たされることになる。


参考文献
[1] 井上 健 監修「量子力学演習(シッフの問題解説)」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/27 12:55
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