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輻射ゲージ (2)

クーロンゲージの方から攻める方法もあるようです。

一般に、
\[
\nabla^2\chi = -\nabla\cdot{\bf A}
\tag{1}
\]
を満たすχを持ってくれば、
\[
\nabla\cdot{\bf A}' = \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi = 0
\tag{2}
\]
というように、クーロンゲージにすることができる。

この時、マックスウェル方程式は、
\[
\nabla^2\phi = -\rho
\tag{3}
\]
となって、無限遠でゼロという境界条件を与えた時の解は、
\[
\phi({\bf r},t) = \frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho({\bf r}',t)}{|{\bf r} -{\bf r}'| } d{\bf r}'
\tag{4}
\]
となる。

ρ=0 という仮定を適用すると、
\[
\phi = 0
\tag{5}
\]
となる。

これで、前記事と同じく、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{6}
\]
という条件を満たすポテンシャルを構成できたことになる。

こちらの攻め方の方がシンプルで分かりやすいですね!

この流れを見ると、

1.クーロンゲージの条件 $\nabla\cdot{\bf A} = 0$ を満たす。
2.電荷がない。
3.φは無限遠でゼロ。

という3条件を課すと、必ず、$\phi = 0$ になるようですね。

逆に、電荷があると、$\phi = 0$ にはできないということも分かりました。
電荷があれば、必ず、静電場が発生するので、
静電ポテンシャルをいたるところでゼロにはできないというのは
当然と言えば、当然ですね。


参考文献
[1] 井上 健 監修「量子力学演習(シッフの問題解説)」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/28 12:29
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