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輻射ゲージ (3)

輻射ゲージにおいて、
電荷も電流もない自由空間($\rho = {\bf j} = 0$)を仮定すると、
ベクトルポテンシャルに対するマックスウェル方程式は
以下の波動方程式となる。
\[
\Box {\bf A} = 0
\tag{1}
\]
自由空間における電場と磁場(電磁波)は、ゲージによらず波動方程式を満たすが、
ベクトルポテンシャルも波動方程式を満たすことになる。

これに対する平面波の解として、
\[
{\bf A} = {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\tag{2}
\]
が存在する。

ここで、
\[
\omega = ck = c|{\bf k}|
\tag{3}
\]

さらに、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\tag{4}
\]
の条件から、
\[
{\bf A}_0 \cdot {\bf k} = 0
\tag{5}
\]
となり、横波であることが分かる。
(電磁波はゲージによらず横波であるが、ベクトルポテンシャルが横波ということ)

電場と磁場を計算する。
\[
\begin{array}{lll}
{\bf E} &=& -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \\
&=& \frac{i\omega}{c} {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.} \\
&=& ik{\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\end{array}
\tag{6}
\]
\[
\begin{array}{lll}
{\bf B} &=& \nabla\times{\bf A} \\
&=& i{\bf k}\times{\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\end{array}
\tag{7}
\]

ポインティングベクトル
\[
{\bf S} = c{\bf E}\times{\bf B}
\tag{8}
\]
を計算したい。
(5)の性質を用いて、
\[
{\bf A}_0 \times {\bf k} \times {\bf A}_0 = |A_0|^2 {\bf k} - ({\bf k}\cdot{\bf A}_0){\bf A}_0 = |A_0|^2 {\bf k}
\tag{9}
\]
これを用いると、
\[
{\bf S} = 2ck{\bf k}|A_0|^2 \{
1 - \exp[2i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t + \phi)] \}
\tag{10}
\]
ここで、$\phi$ は ${\bf A}_0$ が複素であった場合の位相成分。
一周期のサイクル平均を取ると振動項は消えて、
\[
\overline{{\bf S}} = \frac{2\omega^2}{c}|A_0|^2 \hat{{\bf k}}
\tag{11}
\]
$\hat{\bf k}$ は、${\bf k}$ 方向の単位ベクトルを表す。

上式は、輻射電磁波のエネルギーの流れを示しており、
向きは電磁波の進行方向(kベクトルの方向)となる。

この大きさは単位面積当たりの電磁波強度を表すと考えられる。
\[
I = |\overline{\bf S}| = \frac{2\omega^2}{c}|A_0|^2
\tag{12}
\]

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/28 12:35
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