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ルジャンドル多項式 (1)

この後の話の都合で、ルジャンドル多項式を復習したいと思います。

数年前、この勉強を始めた時、まず初めにやったのが特殊関数や直交多項式の勉強。
テキストは、こちらで紹介した小野寺先生の本 [1]。
入門書としては、すごく分かりやすいです!

まずは、ルジャンドル多項式の定義。
いろいろ流儀はありますが、このテキストでは一貫して母関数で定義します。
\[
g(t,x) = \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}
= \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n
\tag{1}
\]
ただし、|t| < 1 とする。

直接的な表式
\[
P_n(x) = \sum_{r=0}^{[n/2]}
\frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!}x^{n-2r}
\tag{2}
\]

証明
\[
y = 2tx - t^2
\tag{3}
\]
とおいて、母関数をテイラー展開。
\[
g(t,x) = (1-y)^{-1/2} = \sum_{p=0}^\infty \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}y^p
\tag{4}
\]
さらに、$y^p$を2項展開。
\[
y^p = t^p(2x-t)^p
= t^p \sum_{r=0}^p \binom{p}{r} (2x)^{p-r}(-t)^r
\tag{5}
\]
(5)を(4)に代入して、
\[
g(t,x) = \sum_{p=0}^\infty \sum_{r=0}^p
\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}
t^{p+r} \frac{p!(-1)^r}{r!(p-r)!} (2x)^{p-r} \\
= \sum_{p=0}^\infty \sum_{r=0}^p
\frac{(2p)!(-1)^r}{2^{p+r}p!r!(p-r)!} x^{p-r} t^{p+r}
\tag{6}
\]
$p+n=r$と置いて、p から n に変換すると、r の範囲は、$0 \leq r \leq [n/2]$。
\[
g(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^{[n/2]}
\frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!} x^{n-2r} t^n
\tag{7}
\]
となり、(2)を得る。
(証明終了)

この表式をもとに、n の小さいものをいくつか書き下してみると・・・

\[
P_0(x) = 1
\]\[
P_1(x) = x
\]\[
P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)
\]\[
P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)
\]\[
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)
\]

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/09 23:59
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