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ルジャンドル多項式 (2)

ロドリグの公式
\[
P_n(x) = \frac{1}{2^nn!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
\tag{1}
\]

証明
$(x^2-1)^n$ を2項展開。
\[
\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{d^n}{dx^n} (x^2)^{n-r} (-1)^r
\tag{2}
\]
ここで、$r \leq n/2$ であるならば、
\[
\frac{d^n}{dx^n} x^{2n-2r} = \frac{(2n-2r)!}{(n-2r)!} x^{n-2r}
\tag{3}
\]
であり、$r > n/2$の場合は、微分はゼロになることを用いて、
\[
\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
= \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{n!}{r!(n-r)!} (-1)^r \frac{(2n-2r)!}{(n-2r)!} x^{n-2r}
\tag{4}
\]
これを(1)式の右辺に代入すると、
前記事で得たルジャンドル多項式の表式
\[
P_n(x) = \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!}x^{n-2r}
\tag{5}
\]
に一致する。
(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/10 19:29
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