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ルジャンドル多項式 (3)

漸化式
\[
(2n+1)xP_n(x) = (n+1)P_{n+1}(x) + nP_{n-1}(x)
\tag{1.1}
\]\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - (n+1)x \right]P_n(x) = -(n+1)P_{n+1}(x)
\tag{1.2}
\]\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n(x) = nP_{n-1}(x)
\tag{1.3}
\]

証明
母関数
\[
g(t,x) = \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}} = \sum_n P_n(x) t^n
\tag{2}
\]
を t で微分。
\[
\frac{\partial g}{\partial t}
= \frac{x-t}{1-2tx+t^2}g = \sum_n nP_n(x)t^{n-1}
\tag{3}
\]
(2)を(3)に代入して、整理。
\[
(x-t) \sum_n P_n t^n = (1-2tx+t^2) \sum_n nP_n t^{n-1}
\]\[
\sum_n P_n \{ (2n+1)xt^n - (n+1)t^{n+1} - nt^{n-1} \} = 0
\]
n をずらして、t のべきをそろえると、$t^n$の係数は
\[
(2n+1)xP_n - nP_{n-1} - (n+1)P_{n+1}
\]
任意の t について成立するためには、ゼロにならなければならないので、
(1.1)式が成立。

さて、(1.2)の証明については、本[1]にも
「答を知っていて証明を考えるのはいささか不純であるが・・・」
と書かれていて、確かに気持ち悪いんですが、
他によい方法がないかと考えてみたものの、見つからないんですよね。
(まあ、あれば、小野寺先生がそれを書いているはずですから)

というわけで、その不純な方法で(笑)

まず、証明すべき(1.2)式を証明しやすいように変形する。
(1.2)に $t^n$ を乗じて、n で足し合わせる。

\[
(1-x^2)\frac{\partial}{\partial x} \sum_n P_n t^n
- x \sum_n n P_n t^n
- x \sum_n P_n t^n
= - \sum_n (n+1) P_{n+1} t^n
\]
母関数に置き換えると、
\[
(1-x^2)\frac{\partial g}{\partial x}
- xt \frac{\partial g}{\partial t}
- xg
= - \frac{\partial g}{\partial t}
\tag{4}
\]
これを証明すれば、逆にたどって、(1.2)が示されたことになる。
\[
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{t}{1-2tx+t^2}g
\tag{5}
\]
と、$\partial g/\partial t$ の表式 (3) を (4) に代入すると、
(4)が成立することが分かる。
よって、(1.2)が成立。

さらに、(1.1)と(1.2)の辺々を加えると、(1.3)が導き出される。

(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/11 12:00
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