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ルジャンドル多項式 (4)

ルジャンドルの微分方程式
ルジャンドル多項式は、以下の微分方程式の解である。
\[
(1-x^2) \frac{d^2}{dx^2}P_n(x) - 2x \frac{d}{dx}P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0
\tag{1}
\]
または、
\[
\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \frac{d}{dx}P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0
\tag{2}
\]

証明
前記事で証明した漸化式の微分の入った2つを用いる。

漸化式
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - (n+1)x \right]P_n = -(n+1)P_{n+1}
\tag{2}
\]
の n+1 を n にして、
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - nx \right]P_{n-1} = -nP_n
\tag{3}
\]
この $P_{n-1}$ に漸化式
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n = nP_{n-1}
\tag{4}
\]
を代入すると、$P_n$ のみの式が得られる。
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - nx \right]
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n
= -n^2 P_n
\tag{5}
\]
これを展開して整理すると、(2)が得られ、
さらに展開すると、(1)が得られる。

(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/12 12:30
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