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ルジャンドル多項式 (5)

こういう計算はあんまり面白くないし、
飽きてきて、疲れますね!はあ・・・
まあ、思い出す意味でもう少し頑張ります。。。

直交性
\[
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}
\tag{1}
\]

証明
母関数を使って、
\[
\sum_m\sum_n t^m s^n
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx \\
= \int_{-1}^1
\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}
\frac{1}{\sqrt{1-2sx+s^2}} dx
\tag{2}
\]

右辺を計算するのに、
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{a-x}\sqrt{b-x}}
= -2 \log(\sqrt{a-x} + \sqrt{b-x})
\tag{3}
\]
という公式を使うとのこと(積分定数は省略)

これをきちんと左から右へはどう積分したらいいのか分かりません。
右を微分したら、左になることは確認できました。
(ここでは省略しますが)

この公式で、
\[
a = \frac{1+t^2}{2t}
\tag{4}
\]\[
b = \frac{1+s^2}{2s}
\]
とおけば、(2)が計算できる。
右辺は、
\[
\frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}
\]
(4)を代入すると、
\[
\frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{(1+t)/\sqrt{2t} + (1+s)/\sqrt{2s}}
{(1-t)/\sqrt{2t} + (1-s)/\sqrt{2s}} \\
= \frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{(1+t)\sqrt{s} + (1+s)\sqrt{t}}
{(1-t)\sqrt{s} + (1-s)\sqrt{t}} \\
= \frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{1+\sqrt{ts}}{1-\sqrt{ts}}
\tag{5}
\]

これをべき級数に展開する・・・んだそうで、
めんどくさいですが・・・
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)
\tag{6}
\]
より、それぞれをテイラー展開して、
\[
\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
\tag{7}
\]\[
\log(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}
\]
となるから、
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty \{(-1)^{n-1}+1\} \frac{x^n}{n}
\tag{8}
\]
奇数項だけが残り、
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\tag{9}
\]
となる。
これを (5) に適用すると、結局、(2)の右辺は、
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} t^ns^n
\tag{10}
\]
となるから、(2)の左辺と比較することにより、(1)が得られる。

(証明終了)

いやあ、直交多項式や特殊関数関係の計算は、
計算力維持のためのよい訓練になりますね(^^;


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/12 19:44
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