FC2ブログ

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

E = mc^2

めんどくさい計算ばかりやってて、少々疲れたので、
久しぶりに、特殊相対論の続きを。

えっと、どこまでやったかな?
頭がなかなか切り替わりませんね(笑)

相対論的な運動方程式を導いたところでしたね。
\[
\frac{dp^i}{dt} = F^i
\tag{1}
\]

ここから、おなじみの $E=mc^2$ へと進もうと思います。

まず、4元加速度と4元速度は直交するというところから。
(これは、4元速度のノルムが一定であるという性質からくる)
\[
a^\mu u_\mu = 0
\tag{2}
\]
書き直すと、
\[
\frac{du^\mu}{d\tau} \frac{dx_\mu}{d\tau} = 0
\tag{3}
\]
m を乗じると、
\[
\frac{dp^\mu}{d\tau} \frac{dx_\mu}{d\tau} = 0
\tag{4}
\]
この式は微小時刻(固有時で) dτ だけ経過後の微小変化が
\[
dp^\mu dx_\mu = 0
\tag{5}
\]
となっていることを意味する。
時間成分と空間成分に分離して表記すると、
\[
c dp^0 dt = \sum_i dp^i dx^i
\tag{6}
\]
(時間と空間を分けた時点で、 i の上下に意味はない)
さらに、
\[
d(cp^0) = \sum_i \frac{dp^i}{dt} dx^i
\tag{7}
\]
と変形して、ここで、運動方程式 (1) を用いる。
\[
d(cp^0) = \sum_i F^i dx^i
\tag{8}
\]
ここまでくると、式の意味が分かりやすくなって、
右辺は、外力 F によって与えられた仕事を表す。

ということは、左辺はエネルギーの変化と見ることができて、
\[
E = cp^0 + {\rm Const.}
\tag{9}
\]
と考えることができる。

4元運動量の成分は、
\[
p^\mu = ( \gamma mc, \gamma m{\bf v})
\tag{10}
\]
だったから、
\[
E = \gamma mc^2 + {\rm Const.}
\tag{11}
\]
となる。

ここで、ニュートン的な運動エネルギーとの関係を調べるために、
光速に比べてゆっくりな場合 (v << c) を考えてみる。
\[
\gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} \sim 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}
\tag{12}
\]
と近似できるから、
\[
E = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + {\rm Const.}
\tag{13}
\]
となる。

第2項に、ニュートン的な運動エネルギーの項が現れている。

一方、第1項は、静止していても現れる項であり、静止エネルギーと呼ばれる。

エネルギー原点の Const.の部分は、ゼロとおけば、(9)より
\[
p^0 = \frac{E}{c}
\tag{14}
\]
となり、エネルギーを c で割ったものが4元運動量の時間成分になり、
エネルギーを運動量と合わせて、ローレンツ共変な4元ベクトルとして表せるので、
大変、都合がよい。
そこで、Const.=0 とおくと、
\[
E = \gamma mc^2
\tag{15}
\]
となる。
光速に比べてゆっくりな場合は、
\[
E = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2
\tag{16}
\]
となり、静止していても、
\[
E = mc^2
\tag{17}
\]
の静止エネルギーが存在することになる。
というわけで、おなじみの式が導けました!

ただし、前野先生のテキスト[2]によれば、ここまでは単に、
エネルギー原点をかさ上げしただけのことで、
本当に面白いのは、「どんなエネルギーも質量と関係してくる」
というところなんだそうです。

確かに、エネルギーの原点なんて任意に決められるわけで、
位置エネルギーの原点を地表面に決めたら、
我々のエネルギーはほぼゼロだけど、
モホロビチッチ不連続面(地殻とマントルの境界)に決めれば、
地表面にいるだけで、莫大な位置エネルギーを有することになるわけで、
エネルギー原点をどこに取るかはそんなに意味がないですね。

むしろ、エネルギーが増えれば、質量も増える
エネルギーが減れば、質量も減る
というところが面白いんですね。

このことは、前野先生のテキストに従って、
非弾性衝突の思考実験を考えると、分かりやすいので、
次回、これについて考えてみたいと思います。

ところで、なんとなく、久しぶりに特殊相対論の記事を書きましたが、
これを書いていた3月14日は、奇しくもアインシュタインの誕生日でしたね!


参考文献
[1] 内山龍雄「相対性理論」(岩波物理テキストシリーズ)
[2] 前野昌弘 相対論2010年度講義録
  http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/rel2010/tokushu.pdf
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/03/13 19:29
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。