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ルジャンドル多項式 (6)

また、ルジャンドル多項式の続き。

もともと、輻射場による遷移の選択則を見ておこうという目的で、
ルジャンドル多項式の復習を始めたのですが、
乗り掛かった舟なので、もう少しつっこんでみたいと思います。

小野寺先生の本[1]では、下図のように、
母関数からスタートして諸性質を示していくスタイルですが、
他の道筋もいろいろあるようです。

LegnedreScheme01.png

他の本を参考に、いろいろな道筋を見てみると、
理解が深まるかなと思っています。

今回は、参考文献[2]を参考に、
微分方程式からロドリグの公式を導きます。

微分方程式
\[
(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0
\tag{1}
\]
関数
\[
v(x) \equiv (x^2-1)^n
\tag{2}
\]
を定義して、一回微分すると、
\[
v'(x) = 2nx(x^2-1)^{n-1}
\tag{3}
\]
となるから、v は微分方程式
\[
(1-x^2)v' + 2nxv = 0
\tag{4}
\]
の解である。
これをライプニッツ則を用いて、さらに n+1 回微分する。
第一項の微分が
\[
(1-x^2)v^{(n+2)} - 2(n+1)xv^{(n+1)} - 2\frac{n(n+1)}{2}v^{(n)}
\]
第二項の微分が
\[
2nxv^{(n+1)} + 2n(n+1)v^{(n)}
\]
であるから、整理すると、
\[
(1-x^2)v^{(n+2)} - 2xv^{(n+1)} + n(n+1)v^{(n)} = 0
\tag{5}
\]
となり、$v^{(n)}$ は、微分方程式 (1) の解である。

つまり、
\[
y = a \frac{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n
\tag{6}
\]
(1)は線形な方程式なので、任意の係数 a がかかる。

係数は微分方程式からは決められないが、
ロドリグの公式が導かれた。


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
[2] 神部 勉「偏微分方程式」(理工学者が書いた数学の本シリーズ)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/16 15:12
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