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ルジャンドル陪関数 (1)

しばらく、ルジャンドル多項式を深めようと思っていましたが、
ちょっと先を急ぎますので、ルジャンドル陪関数に入ることにします。

定義
\[
P_l^m(x) \equiv \frac{1}{2^ll!}(1-x^2)^{m/2} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l
\tag{1}
\]

$(x^2-1)^l$ は 2l 次の多項式だから、m の範囲は、$-l\leq m \leq l$

m = 0 の時は、ルジャンドル多項式のロドリグ公式に一致するので、
\[
P_l^0(x) = P_l(x)
\tag{2}
\]

m ≧ 0 の時は、
\[
P_l^m(x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m}P_l(x)
\tag{3}
\]
x に -x を入れると、微分のところだけ符号が反転するので、l+m のパリティを持つ。
\[
P_l^m(-x) = (-1)^{l+m}P_l^m(x)
\tag{4}
\]

l, m の小さいものを具体的に書く。
\[
P_0^0(x) = P_0(x) = 1
\]\[
P_1^0(x) = P_1(x) = x
\]\[
P_1^1(x) = \sqrt{1-x^2}
\]\[
P_1^{-1}(x) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}
\]\[
P_2^0(x) = P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)
\]\[
P_2^1(x) = 3x\sqrt{1-x^2}
\]\[
P_2^2(x) = 3(1-x^2)
\]\[
P_2^{-1}(x) = -\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}
\]\[
P_2^{-2}(x) = \frac{1}{8}(1-x^2)
\]

m が負のものを具体的に例示している文献があまりなくて、
計算結果をチェックできなかったので、間違っているかもしれません。

ちなみに、Wikipedia[2]では、$P_1^1(x)$ などにマイナスがついているのですが、
どうやら、$(-1)^m$ の係数をつけて定義しているようです。


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
[2] Associated Legendre polynomials - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2014/03/20 12:29
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