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密度演算子の時間発展

密度演算子の時間発展について。

\[
\rho \sum_i w_i |\alpha^{(i)}\rangle \langle\alpha^{(i)}|
\tag{1}
\]
アンサンブル内のそれぞれの状態の混合割合 $w_i$ は変化せず、
各状態のみがシュレディンガー方程式に従って、時間発展する場合を考える。

\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}
= \sum_i w_i \left[
\left( \frac{\partial}{\partial t}|\alpha^{(i)}\rangle \right) \langle\alpha^{(i)}|
+ |\alpha^{(i)}\rangle \frac{\partial}{\partial t} \langle\alpha^{(i)}|
\right]
\tag{2}
\]

時間依存シュレディンガー方程式を用いて、書き換えると、
\[
i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}
= \sum_i w_i \left[
H|\alpha^{(i)}\rangle \langle\alpha^{(i)}|
- |\alpha^{(i)}\rangle \langle\alpha^{(i)}|H
\right]
\tag{3}
\]
すなわち、以下のフォン・ノイマンの式を得る。
\[
i\hbar \frac{\partial\rho}{\partial t} = -[\rho, H]
\tag{4}
\]
ハイゼンベルク描像における演算子の時間発展の式と似ているが、
マイナス符号がつく。

この符号の問題は、ρは観測量の演算子ではなく、
時間発展するシュレディンガー描像的な状態ベクトルから作られることに起因している。

また、(4)式は、古典論におけるリウヴィルの定理と全く同じ形をしているので、
量子リウヴィル方程式とも呼ばれる。

リウヴィルの定理は、まだちゃんと勉強してないので、
またいずれ勉強したいと思います。

参考文献
[1] JJサクライ「現代の量子力学」

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2014/03/22 01:12
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