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運動量演算子

並進演算子を導入した真の目的は、運動量演算子を定義したいから。

古典力学では、無限小空間並進にあたる正準変換の生成子は運動量である。

このあたりは、不勉強でよく理解していないのですが。。。
理解したいのですが、時間があまりないので、先を急ぎます。

無限小並進にあたる正準変換
\[
X = x + dx \\
P = p
\tag{1}
\]
を与える母関数は、
\[
F(x,P) = x\cdot P + p\cdot dx
\tag{2}
\]
となるそうです。

$x\cdot P$ の部分は、恒等変換を与える母関数であることに注意して、
並進演算子の定義
\[
T(dx) = 1 - iK\cdot dx
\tag{3}
\]
と比較すると、運動量 p が 演算子 K と関連してそうということが推測できる。

K の次元は、$L^{-1}$。
運動量の次元は、$MLT^{-1}$
と異なるので、次元の変換をするプランク定数 $\hbar$ (ディラック定数というべきか)を導入して、
運動量演算子
\[
p = \hbar K
\tag{4}
\]
と定義する。

プランク定数の次元は、$ML^2T^{-1}$ となる。
この値が1でないのは、質量、長さなどの単位が独立にマクロな量から決められているから。
電磁気のSI単位で言うところの、$1/4\pi\varepsilon_0$みたいなものというサクライ先生の例えが分かりやすい!

i はどこへ行ってしまったのか?という疑問がわきますが、
あくまでも古典からの推測で話を進めているだけなので、
最終的に出来上がった原理が$\hbar\rightarrow 0$の極限で古典力学に帰結すればよいということでしょうね。

というわけで、並進演算子は、
\[
T(dx) = 1-i\frac{p}{\hbar}\cdot dx
\tag{5}
\]
と書き表せる。


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/03 12:51
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