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位置と運動量の交換関係

位置と運動量の交換関係を導きます。

まずは、無限小並進演算子と位置演算子の交換関係から。
\[
\hat{x}T(dx)|x\rangle
= \hat{x}|x+dx\rangle
= (x+dx)|x+dx\rangle
\tag{1}
\]
\[
T(dx)\hat{x}|x\rangle
= xT(dx)|x\rangle
=x|x+dx\rangle
\tag{2}
\]

この両式より、$(dx)^2$を無視すると、
\[
[ \hat{x}, T(dx)]|x\rangle = dx|x\rangle
\tag{3}
\]
$|x\rangle$は完全系をなすから、以下の交換関係が得られる。
\[
[ \hat{x}, T(dx)] = dx
\tag{4}
\]
並進演算子は、運動量演算子を用いて、
\[
T(dx) = 1 - i\frac{\hat{p}}{\hbar} \cdot dx
\tag{5}
\]
と表されるので、x と p がベクトル量であることを考慮すると、
位置と運動量の交換関係は、
\[
[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}
\tag{6}
\]
となる。

この導出を初めてサクライで知った時には、
なるほどね~と感動した覚えがあります。

普通は、波動関数に対する空間微分で運動量を定義して、
そこから交換関係を導きますからね。

論理の順序が変わると、とても新鮮です。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/04 12:31
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