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位置表示の波動関数

位置表示(座標表示)の波動関数について。

一般にシュレディンガー方程式とともに登場する
いわゆる「波動関数」$\psi(x)$ のことです。

「座標表示」と呼ぶのが一般的みたいですが、
この一連の記事ではずっと「位置ケット」「位置演算子」と呼んできているので、
「位置表示」で通します。

位置演算子の記事で少しふれたように、
\[
|\alpha\rangle = \int dx |x \rangle \langle x|\alpha\rangle
\tag{1}
\]
と書くことができて、
\[
\psi_\alpha(x) = \langle x|\alpha \rangle
\tag{2}
\]
は、$|\psi_\alpha(x)|^2 dx$ が 位置 x の微小領域 dx の中に見出される確率を表すと解釈することができる。
すなわち、波動関数である。

後に運動量演算子の固有ケットを基底に取った場合の波動関数について述べるので、
それと区別するために、これを「位置表示」と呼ぶことにする。

ある演算子 A の行列要素を求めたいときは、
\[
\langle \beta|A|\alpha \rangle
= \iint dx dx' \langle \beta|x\rangle
\langle x|A|x' \rangle
\langle x'|\alpha \rangle \\
= \iint dx dx' \psi^*_\beta(x)
\langle x|A|x' \rangle
\psi_\alpha(x')
\tag{3}
\]
というように、A の位置表示における行列要素 $\langle x|A|x' \rangle$を波動関数で挟み込んで積分すればよい。

特に、A が位置演算子のみの関数の場合、
\[
\langle x|f(\hat{x})|x' \rangle
= f(x) \delta(x-x')
\tag{4}
\]
であるから、
\[
\langle \beta|f(\hat{x})|\alpha \rangle
= \int dx \psi^*_\beta(x) f(x) \psi_\alpha(x)
\tag{5}
\]
と簡単な形で表される。


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/07 13:07
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