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運動量演算子の位置表示

備忘録として書いておこうと思った箇所までなかなかたどりつけません^^;
もう少しです。

運動量演算子を位置基底で表示したもの
つまり、$\langle x|\hat{p}|x'\rangle$ を求めます。

これを求めるために、一般のケット |α> に無限小並進演算子を施したものを考える。
\[
T(dx)|\alpha\rangle = \left( 1-i\frac{\hat{p}}{\hbar}\cdot dx\right)|\alpha\rangle
\tag{1}
\]

左辺を位置基底を使って変形。
\[
T(dx)|\alpha\rangle
= \int dx' T(dx)|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle \\
= \int dx' |x'+dx\rangle \langle x'|\alpha\rangle \\
= \int dx' |x'\rangle \langle x'-dx|\alpha\rangle
\tag{2}
\]

ここで、
\[
\langle x'-dx|\alpha\rangle
= \left( 1 - dx \frac{\partial}{\partial x'} \right) \langle x'|\alpha\rangle
\tag{3}
\]
と書けるから、(1)の両辺に < x |をかけて、
\[
\langle x|\hat{p}|\alpha\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|\alpha\rangle
\tag{4}
\]

この式は、波動関数の言葉で書くと、
\[
\hat{p}\psi_\alpha(x) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi_\alpha(x)
\tag{5}
\]
というおなじみの式になる。

|α> に|x> を入れると、運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{6}
\]
が得られる。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/08 12:01
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