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運動量の期待値

運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{1}
\]
を使うと、たとえば、波動関数から運動量の期待値を求めることができる。

\[
\langle p \rangle_\alpha
= \langle \alpha |\hat{p}| \alpha \rangle
= \iint dx dx'\langle \alpha |x \rangle
\langle x|\hat{p}| x'\rangle
\langle x'|\alpha \rangle
\tag{2}
\]
であるから、(1)を用いると、
\[
\langle p \rangle_\alpha
= \int dx \psi^*_\alpha(x) \left[-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right] \psi_\alpha(x)
\tag{3}
\]
と波動関数を用いて書き表せる。

この式は、波動関数から導入する量子力学の入門書の初めの方に出てくるおなじみの式ですが、
大学入学したての頃は、運動量の期待値が(3)式のように演算子を挟み込む形になっているという意味が
どうにも腑に落ちなかった覚えがあります。

波動関数ありきからスタートすると、どうしてもこの表式に至る過程で、
飛躍があるような気がします。

J.J.サクライのようにブラケットの概念からスタートして、
波動関数を定義する方法だと、非常に明快ですね!

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/08 19:15
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