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位置表示と運動量表示の変換

位置の固有状態 |x> と運動量の固有状態 |p> の関係性を表す
< x | p > がどのように表されるかを導く。

運動量演算子の位置表示のところで出てきたこの式からスタート。
\[
\langle x|\hat{p}|\alpha\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|\alpha\rangle
\tag{1}
\]
|α> に |p> を入れると、
\[
p \langle x|p \rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|p \rangle
\tag{2}
\]
< x | p > について解くと、
\[
\langle x|p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp \left( i\frac{p}{\hbar}x \right)
\tag{3}
\]
ここで、規格化因子は、
\[
\langle x|x' \rangle = \int dp \langle x|p \rangle \langle p|x' \rangle = \delta(x-x')
\tag{4}
\]
の関係より決めた。(位相因子は1とする)

3次元の時は、
\[
\langle {\bf x}|{\bf p} \rangle = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \exp \left( i\frac{\bf p}{\hbar}\cdot{\bf x} \right)
\tag{5}
\]

< x | p > は、運動量固有状態の位置表示における波動関数を意味し、
(3)または(5)式は、それが平面波で表されることを示している。

サクライ[1]には、この性質がシュレディンガー方程式を使わずに出てくることが
面白いと書かれていて、確かに、そうですよね!
実は、運動量が空間並進の演算子であるという性質だけから出てくるんですね!
なんだか不思議ですが・・・

さて、この < x | p > の式を用いると、
位置表示と運動量表示の間で波動関数の変換を行うことができる。

\[
\langle x|\alpha\rangle
= \int dp \langle x|p \rangle \langle p|\alpha \rangle
\tag{6.1}
\]\[
\langle p|\alpha\rangle
= \int dx \langle p|x \rangle \langle x|\alpha \rangle
\tag{6.2}
\]
から、波動関数の用語に直すと、
\[
\psi_\alpha(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dp \exp\left(i\frac{p}{\hbar}x\right) \phi_\alpha(p)
\tag{7.1}
\]\[
\phi_\alpha(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx \exp\left(-i\frac{p}{\hbar}x\right) \psi_\alpha(x)
\tag{7.2}
\]
となる。これを見ると、
位置表示と運動量表示の波動関数は、お互いにフーリエ変換で結ばれていることが分かる。
運動量固有状態は、位置表示で見ると、平面波なのだから、当然と言えば当然ですね。
でも、シュレディンガー方程式を用いずに、このことが示せるというのは面白いです。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/10 12:48
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