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位置演算子の運動量表示

ようやく備忘録として書こうとしていたところにたどりつきました!(汗)

運動量演算子の位置表示は既にやりましたが、
今度は、位置演算子の運動量表示です。
$\langle p|\hat{x}| p'\rangle$を求めます。

これは、サクライには載ってないので、
どうやって導出したらよいか分からず、
「EMANの物理学」の掲示板で質問して、ようやく分かりました。
その時の回答をもとに、記事を進めていきます。

\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \int dx \langle p|\hat{x}|x\rangle \langle x|p'\rangle
= \int dx x \langle p|x\rangle \langle x|p'\rangle
\tag{1}
\]
x と p の関係式
\[
\langle x|p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\exp \left( i\frac{p}{\hbar}x \right)
\tag{2}
\]
を用いると、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \frac{1}{2\pi\hbar} \int x
\exp\left(i\frac{p'-p}{\hbar}x \right) dx
\tag{3}
\]
右辺を変形すると、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \frac{1}{2\pi\hbar} \int
i\hbar\frac{\partial}{\partial p}
\exp\left(i\frac{p'-p}{\hbar}x \right) dx \\
= i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \delta(p'-p)
\tag{4}
\]
ここで、
\[
\int e^{ikx} dx = 2\pi\delta(k)
\tag{5}
\]
を用いた。
デルタ関数は偶関数的であるから、最終的に、
位置演算子の運動量表示は、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \delta(p-p')
\tag{6}
\]

運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{7}
\]
と見比べると、符号が反転しているだけですね。
正準交換関係の符号に由来しているのだろうか?

後者に比べて、前者はイメージがわきにくいと思いますが、
たとえば、自由粒子の状態(運動量固有状態)間の双極子遷移を考えると、
このような式が出てきます。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/11 12:26
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