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ハミルトン形式の変分原理

ようやく、量子力学の備忘録が一段落したので、
ずっと以前から宿題にしていた正準変換をやります。

そのための準備として、ハミルトン形式の変分原理について。

ラグランジュ形式では、変分原理にからオイラー・ラグランジュの方程式が導かれる。
同様に、正準方程式が導かれるような変分原理を探す。
簡単のために、座標は一変数で。

出発点は、ラグランジュ形式の変分原理(最小作用の原理)。
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt = 0
\tag{1}
\]

ハミルトン形式では、
\[
L = p\dot{q} - H(q, p, t)
\tag{2}
\]
を使って、ハミルトニアンに置き換えればよい。
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ p\dot{q} - H(q,p,t) \} dt = 0
\tag{3}
\]
変形して、
\[
\int_{t_1}^{t_2} \left\{
\dot{q}\delta p + p\delta{\dot{q}}
- \frac{\partial H}{\partial q}\delta q
- \frac{\partial H}{\partial p}\delta p
\right\} dt = 0
\tag{4}
\]

ラグランジュ形式の時と同じく、端点固定の条件 $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ を仮定すると、
$p\delta \dot{q}$ の項は部分積分で、$-\dot{p}\delta q$ に置き換えられて、
\[
\int_{t_1}^{t_2} \left\{
\left( \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial p} \right) \delta p
- \left( \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial q} \right) \delta q
\right\} dt = 0
\tag{5}
\]

ハミルトン形式では、p と q を独立変数とみなすから、
独立に変分を行ったとき、(5)が成立する条件は、
\[
\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}
\tag{6.1}
\]\[
\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}
\tag{6.2}
\]
となり、正しく正準方程式が導かれることが確かめられた。

ここで、p と q は独立変数と考えているから、
端点固定の条件についても、 δp に関するものを加えておく。
\[
\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = \delta p(t_1) = \delta p(t_2) = 0
\tag{7}
\]

余計な条件を付け加えるようで、気持ち悪さがあるが、問題ではない。
というのも、この条件を加えても、変分原理 (3) から得られる式は変わらず、
正準方程式 (6) が得られるからである。
正準方程式が運動を支配している基本方程式なわけなので、
それが得られるならば、変分原理も正しい。


このあたりは、僕の理解ですが、
ゴールドスタイン[2]にはこの辺のjustificationが長文で丁寧に書かれていて、面白いです。
一方、ランダウ・リフシッツ[1]は、当然という感じにさらっと一言
「独立な変分量とみなす」と書かれているだけで、
このあたりの性格の違いもまた面白いです(笑)


[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 00:26
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