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正準変換 (1)

準備が整ったので、正準変換に入ります。

q と p を組み合わせて、
新しい2つの独立変数 Q と P に変換することを考える。
\[
Q = Q(q,p,t) \\
P = P(q,p,t)
\tag{1}
\]
この新しい2つの変数がなんらかの新しいハミルトニアン $K(Q,P,t)$ に対して、
正準方程式
\[
\dot{Q} = \frac{\partial K}{\partial P}
\tag{2.1}
\]\[
\dot{P} = -\frac{\partial K}{\partial Q}
\tag{2.2}
\]
を満たすならば、2つの変数 Q, P とハミルトニアン K を用いて、
運動を記述できる。
このような変換を正準変換と呼ぶ。

もっとも自明な正準変換は、恒等変換
\[
Q = q \\
P = p \\
K = H
\tag{3}
\]
で明らかに正準方程式 (2) を満たす。

次に、自明な正準変換は、座標と運動量の交換
\[
Q = p \\
P = -q \\
K = H
\tag{4}
\]
マイナスがついているのがミソで、これも新しい正準方程式 (2) を満たす。

次に、一般的に正準変換をどのように探すか見ていきます。

[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 14:30
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