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正準変換 (2)

一般的な正準変換の探し方について。

正準方程式を満たしているということは、
ハミルトン形式の変分原理
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ p\dot{q} - H(q,p,t) \} dt = 0
\tag{1}
\]
を満たしているということである。

変換後も、変分原理
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ P\dot{Q} - K(Q,P,t) \} dt = 0
\tag{2}
\]
を満たしていれば、正準変換である。

被積分関数(ラグランジアンの部分)は、
任意関数の時間に関する全微分の任意性があるから
(変分の端点固定の条件より、時間積分するとゼロになる)
F を任意関数として、
\[
p\dot{q} - H = P\dot{Q} - K + \frac{dF}{dt}
\tag{3}
\]
すなわち、
\[
\frac{dF}{dt} = p\dot{q} - P\dot{Q} - H + K
\tag{4}
\]
であればよい。

Fを q, Q, t の関数 F1
\[
F = F_1(q, Q, t)
\tag{5}
\]
とした場合、
\[
\frac{dF}{dt}
= \frac{\partial F_1}{\partial q}\dot{q}
+ \frac{\partial F_1}{\partial Q}\dot{Q}
+ \frac{\partial F_1}{\partial t}
\tag{6}
\]

(4) と (6) を比較して、
\[
p = \frac{\partial F_1}{\partial q} \\
P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} \\
K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}
\tag{7}
\]
を満たしていれば、正準変換となる。

F1 は母関数と呼ばれる。
母関数を適当に設定して、この式を解いて、
新しい変数 P, Q について解けば正準変換が得られる。

例として、
\[
F_1 = qQ
\]
とすると、
\[
Q = p \\
P = -q \\
K = H
\]
となり、座標と運動量の交換が得られる。

[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 18:07
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