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正準変換 (3)

母関数が (q, Q, t) の関数以外のパターンでは、
ルジャンドル変換を行って、変数を変換すればよい。

たとえば、(q, P, t) の関数 F2 の場合は、
\[
F = F_2(q,P,t) - QP
\tag{1}
\]
とおく。
\[
\frac{dF}{dt} = p\dot{q} - P\dot{Q} - H + K
\tag{2}
\]
に代入すると、
\[
\frac{dF_2}{dt} = p\dot{q} + Q\dot{P} - H + K
\tag{3}
\]
となり、
\[
p = \frac{\partial F_2}{\partial q} \\
Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} \\
K = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}
\tag{4}
\]

このパターンの例としては、
$F_2 = qP$ とすると、恒等変換 $Q=q$, $P=p$, $K=H$ となる。

[1] ゴールドスタイン「古典力学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/13 00:35
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