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コーシー列

コーシー列(定義)
任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある自然数 $n_0$ が存在して、
すべての $m, n \geq n_0$ に対して、$|a_m - a_n | < \varepsilon$ が成立するような数列。


コーシーの収束条件
実数列について、収束するための必要十分条件は、コーシー列であること。

<証明概略>
[必要条件]
実数 a に収束するとすると、ある $n_0$ 以降のすべての項は $a\pm\varepsilon/2$ の範囲に入っている。
よって、$n_0$ 以降のすべての項どうしの差はε以内に収まっているから、コーシー列である。

[十分条件]
(1) コーシー列は有界である。なぜなら・・・
ある $n_0$ 以降の項はすべて、$a_{n_0} \pm 1$ に入っている(ε=1 とした)。

(2) ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理より、有界な実数列は収束する部分列を持つ。

(3) コーシー列が収束する部分列を持てば、コーシー列自身も同じ値に収束する。なぜなら・・・
ある $n_0$ 以降のすべての項どうしの差は、ε/2 よりも小さく、
ある $n_1$ 以降の部分列のすべての項は、収束値 a との差がε/2 よりも小さい。
よって、$n_0$ 以降かつ $n_1$ 以降のすべての項は、a との差がεよりも小さい。

(1)~(3)よりコーシー列は収束する。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/15 13:15
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