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開集合・閉集合

n次元数空間 $R^n$ 上の位相に関する概念をいろいろ。

ε-近傍(定義)
$a \in R^n$ を中心とした半径ε(>0) の開球を a のε近傍という。
\[
U(a,\varepsilon) = \{ x \in R^n| |x-a| < \varepsilon \}
\]
内点(定義)
$a \in R^n$ のあるε近傍が $A \subset R^n$ に含まれるとき、a は A の内点という。
あるεに対して、$U(a,\varepsilon) \subset A$

触点(定義)
$a \in R^n$ の任意のε近傍が $A \subset R^n$ と交わるとき、a は A の触点という。
任意のεに対して、$U(a, \varepsilon) \cap A \neq \phi$

下の図で、a は 内点。a と b はどちらも触点。
open-closed-set01.png

内部(定義)
$A \subset R^n$ の内点全体の集合を A の内部といい、 $A^\circ$ と書く。

閉包(定義)
$A \subset R^n$ の触点全体の集合を A の閉包といい、$\bar{A}$ と書く。

開集合(定義)
$A = A^\circ$ となる集合。

閉集合(定義)
$A = \bar{A}$ となる集合。

内部と閉包の包含関係
\[
A^\circ \subset A \subset \bar{A}
\](証明)
任意の $a \in A^\circ$ に対して、あるεが存在して、$a \in U(a,\varepsilon) \subset A$。 ゆえに $A^\circ \subset A$。
任意の $b \in A$ に対して、どんなεを取っても、$b \in U(b,\varepsilon)$ だから、
$U(b,\varepsilon) \cap A \neq \phi$(少なくとも、b が元として存在)。ゆえに $A \subset \bar{A}$。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/16 12:21
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