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点列コンパクト

「コンパクト」という概念をまずは理解したいのです。
とりあえず、「点列コンパクト」から。

点列コンパクト(定義)
$K \subset R^n$ の任意の点列が K の点に収束する部分列を含むとき、
K は点列コンパクトであるという。

この定義を2つに分けると・・・
(1) K の任意の点列は、収束する部分列を含む(全有界という)
(2) 収束部分列の極限は、K に含まれる。


ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理より、
R の有界閉区間は、点列コンパクトである。


点列コンパクトの条件 (2) は、以下のように変えられる。
(1) K の任意の点列は、収束する部分列を含む(全有界という)
(2)' K の任意の収束する点列の極限は、K に含まれる。

(証明概略)
(2)' $\Rightarrow$ (2) は明らか。
(1)(2) $\Rightarrow$ (2)'
任意の収束する点列は、収束する部分列を持ち、
部分列の極限は元の点列の極限と必ず一致するはずなので、
任意の収束する点列の極限も K に含まれる。
(証明終了)


上記証明で、杉浦[1]には、(1)(2)⇒(2)' となっていますが、
(1) は (2)' を導くのに必要なんでしょうか?
(点列コンパクトの条件として必要なのは分かります。(2)→(2)' の置換に必要かどうか)

任意の収束する点列では、何の仮定がなくても、
部分列は同じ極限に収束するような気もするのですが、どうなんでしょうか???


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/17 13:07
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