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点列コンパクトと有界閉集合

昔、解析の授業でおぼろげながら記憶の断片に残っていることのひとつが
この「コンパクト」といえば、「有界閉集合」なんだなあということ(笑)
ウン十年の時を経て、今度こそはしっかりと理解しておきたいところ。

点列コンパクトの条件を思い出すと、
(1) K の任意の点列は、収束する部分列を含む(全有界)
(2)' K の任意の収束する点列の極限は、K に含まれる。


ここで、(1)は以下と同値。
(1)' K は有界である。

(2)'は以下と同値。
(2)'' K は閉集合である。

結果として、
$K \subset R^n$ において、以下の2つは同値である。
(a) K は点列コンパクトである。
(b) K は有界閉集合である



次は、被覆の概念を使った「コンパクト」とも同値であることを
見ていきたいと思うのですが、
日頃使い慣れない脳の部分を使って、かなり疲れました^^;
少し、休憩を入れるかもしれません。

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/19 00:04
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