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収束点列と閉包

なんだか、だんだん、深み(というか、ぬかるみ?)にハマってきてますね(汗)

$R^n$ では、「点列コンパクト」と「有界閉集合」が同値であるというのを
書きかけていましたが、証明しているうちに訳が分からなくなってきましたので、
まずは、その前段階の準備をしておきます。

$A \subset R^n$ において、
$a \in \bar{A}$ ⇔ a に収束する A の点列が存在する。

(証明概略)
$\Rightarrow$ $a \in \bar{A}$ であれば、任意の自然数 m に対して、\[
U\left(a, \frac{1}{m+1} \right) \cap A \neq \phi
\]ここから、点 $x_m$ を選んでいけば(選択公理)、a に収束する A の点列が構成できる。

$\Leftarrow$ a に収束する点列 $x_m \in A$ が存在すれば、
任意のεに対して、ある $m_0$ 以降のすべての項は、$x_m \in U(a,\varepsilon)$ となり、
$U(a,\varepsilon) \cap A \neq \phi$。

(証明終了)



参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/18 19:22
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