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収束点列と閉集合

$A \subset R^n$ において、以下の2つは同値である。
(a) 任意の収束する A の点列の極限は A に含まれる。
(b) A は閉集合である。


(証明概略)
(a)⇒(b)
任意の $a \in \bar{A}$ に対して、a に収束する A の点列が存在する。
仮定(a)より、収束点列の極限は A に含まれるから、$a \in A$。
ゆえに、$\bar{A} \subset A$。
一般の集合に対して、$A \subset \bar{A}$ であるから、$A = \bar{A}$(閉集合)。

(b)⇒(a)
任意の収束する A の点列を考え、極限を a とすると、$a \in \bar{A}$。
A は閉集合であるから、$A = \bar{A}$ より $a \in A$。

(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/18 20:17
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