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開集合・閉集合 (2)

開集合と閉集合の関係について。

$A \subset R^n$ において、以下の2つの命題は同値。
(a) A は閉集合である。
(b) $R^n$ における A の補集合 $A^c$ は開集合である。


(証明)
A は閉集合である。
⇔ $A = \bar{A}$
⇔ $\bar{A} \subset A$
⇔ $(\forall x \in R^n)
((\forall \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \cap A \neq \phi) \Rightarrow x \in A)$
(対偶を取って)
⇔ $(\forall x \in R^n)
(x \notin A \Rightarrow (\exists \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \cap A = \phi)$
⇔ $(\forall x \in R^n)
(x \notin A \Rightarrow (\exists \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \subset A^c)$
⇔ $(\forall x \in R^n)(x \in A^c \Rightarrow x \subset A^{c\circ})$
⇔ $A^c \subset A^{c\circ}$
⇔ $A^c = A^{c\circ}$
⇔ $A^c$ は開集合。
(証明終了)

テキストには書いていないのですが、(当然過ぎて書いてないのかもしれませんが)
この逆バージョンも成り立つのでしょうか?
つまり・・・

$A \subset R^n$ において、以下の2つの命題は同値。
(a) A は開集合である。
(b) $R^n$ における A の補集合 $A^c$ は閉集合である。


(証明)
A は開集合である。
⇔ $A^{cc}$ は開集合である。(なぜなら、$A^{cc} = A$)
⇔ $A^c$ は閉集合である。(上の性質を用いた)
(証明終了)

テキストに書いているわけではないので、この証明は正しいかどうか分かりませんが・・・

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(4) | 2014/04/19 14:38
コメント
正しいです
dyne さん、

A⊂Rn において、以下の2つの命題は同値。
(a) A は開集合である。
(b) Rn における A の補集合 Ac は閉集合である。

が正しいのは当たり前です!
Rn でなくても、どんな位相空間でも正しいです。

テキストに書いてないことでも、これは正しそう、正しいにちがいない、
といったことも、明文化し、証明できればノートしていってください。

いもむしさんへ
いつもありがとうございます。

正しいと聞いて、安心しました。
数学の証明は慣れないので、ちょっとでもテキストに書いてないことを
証明しようとすると、当たり前のように見えても、不安になりますね^^;

一般の位相空間でも大丈夫ですか・・・
一般の位相空間の場合も勉強したいのですが、
ちょっとハードルが高くて、まずは Rn で勉強しています。
ただ、最終的に複素解析につなげたいと思っているので、
Cn で考えないといけないですよね。
すかっと爽やかな位相空間論
「一般の位相空間の場合も勉強したいのですが、
ちょっとハードルが高くて、まずは Rn で勉強しています。 」

とのことですが、一般位相空間論の観点から見るとかえって
易しく、それどころか自明ですらあることも多いです。
開集合(閉集合)の補集合が閉集合(開集合)である、は
その一例です。

もちろん dyne さんの仰るように、
問題は Rn や Cn のような具体例と一般位相空間論の間の
つながりをちゃんと理解することで、そこが慣れない初学者に
とっては難しい点だと思います。ぼくも「ええ・・・と、そこはどうだったかな」
と考えに詰まることがありますから、偉そうなことは言えませんw。
証明法は複数あるのが普通です。たとえば「有界閉集合」が「(開被覆を使った定義での)コンパクト」と同値であることの証明など。

一般位相空間論そのものは、空間の位相的性質だけを取り出して、
議論するわけだから、すかっと爽やかな感じがして、かならずしも
難物ではないです。

一般位相空間論の本当に難しいのは、ウリソーン補題にはじまる、計量化定理の議論が出てくるところです。ここでは逆に抽象から具体を構成するということをやります。
いもむしさんへ
松坂和夫「集合と位相」の位相空間の章を読んで、
距離の定義されていない抽象的な位相空間は
取っつきにくいなあ・・・と感じていたのですが、
改めて、同じ章をちらっと眺めてみたら、ひょっとしたら、
こちらの方が分かりやすいのかも・・・と、確かに思えました。

確かに、ひとたび分かってしまえば、
より原理的な抽象部分を理解した方が理解が深まりますよね。
数学に限らず、物理でも、初めは具体的なところから入りますが、
最終的には、原理的な数学的構造を把握して、
そこから演繹的に考えた方が分かりやすいということがよくありますね。

今は、実数関数の解析の基礎もやりたいということで、
Rn で勉強してますが、一般の位相空間もそのうち、
勉強したいと思います。

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