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長さゲージと速度ゲージ (1)

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンに関する
長さゲージ(length gauge)や速度ゲージ(velocity gauge)について。

ちゃんと書かれている文献やサイトをあまり見出せなくて、
とりあえず唯一、手元にあるのが Faisalの文献 [1] のみ(汗)

定義とかもよく分からないので、
かなり我流の展開でふくらませています。
(間違ってる可能性大!)

自由輻射場を考え、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{1}
\]
の条件を入れ、さらに、双極子近似を仮定しておき、A は空間的に一様であるとする。
(双極子近似を入れると、上記の$\nabla\cdot{\bf A} = 0$ は不要になるけど・・・)

輻射の半古典論で見たように、ハミルトニアンは、
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla + \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + V
\tag{2}
\]
と表せる。
この表式は、速度ゲージと呼ばれるらしい。

一方、双極子近似を仮定して、電磁場は空間的に一様と考えているので、
輻射場をスカラーポテンシャルで
\[
\phi(t) = -{\bf E}(t)\cdot{\bf r}
\tag{3}
\]
と表すこともできる。
この考え方によって、ハミルトニアンを作ると、
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - e{\bf E}\cdot{\bf r} + V
\tag{4}
\]
こちらは、長さゲージと呼ばれる。

この2つの表記は、実は単純に、ゲージ変換で結ばれている。
それについては、次回。

参考文献
[1] Faisal "Theory of multiphoton processes"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2014/04/29 14:21
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