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長さゲージと速度ゲージ (2)

長さゲージと速度ゲージがゲージ変換で結ばれていることを確認する。

まずは、速度ゲージで記述されたハミルトニアン
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + e\phi + V
\tag{1}
\]
ここでは、自由輻射場を仮定して、$\phi = 0$ としているので、実質的にはφの項はない。

ゲージ変換
\[
\phi' = \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{2.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{2.2}
\]
において、任意関数を
\[
\chi = -{\bf A}\cdot{\bf r}
\tag{3}
\]
とおく。
ここで、双極子近似を仮定しているので、A は空間に依存しないことに注意して、
ゲージ変換を行うと、
\[
\phi' = \frac{1}{c}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\cdot{\bf r}
= -{\bf E}\cdot{\bf r}
\tag{4.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} - {\bf A} = 0
\tag{4.2}
\]
これらの変換を(1)に施すと、長さゲージのハミルトニアンが得られる。
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - e{\bf E}\cdot{\bf r} + V
\tag{5}
\]

参考文献
[1] Faisal "Theory of multiphoton processes"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2014/04/29 19:27
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