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組み換え定理

久しぶりに、群論の勉強中。
群論を勉強してると、たまらなく頭痛がしてきて、吐き気がしてくるんですよ。
なぜでしょう???(笑)
そこまで嫌いじゃないんですが・・・^^;

組み換え定理
有限群 $G = \{g_1, g_2, \cdots, g_r\}$ において、
任意の元 g を右から掛けて得られる集合 $\{ g_1g, g_2g, \cdots, g_rg\}$ には、
G の元が一度、そしてただ一度だけ現れる。
左からでも同様に成り立つ。

つまり、任意のある元を全部の元にかけると、
元の並び方が変わるだけで、集合自体は変わらないってことですね!

(証明)
G の任意の元 $g_k$ に対して、$g_ig = g_k$ となるような $g_i$ は一意的に存在する。
なぜなら、上式に右から $g^{-1}$ をかけると、$g_i = g_k g^{-1}$ となり、
群の定義より、このような $g_i$ は G に存在する。
(証明終了)


参考文献
[1] 吉川圭二「群と表現」(岩波理工系の基礎数学シリーズ)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/04/29 23:51
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