スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

置換の偶奇性

対称群 $S_n$ の元を互換の積で表す時、
互換の個数に確定した偶奇性があることを示します。

次のような差積と呼ばれる多項式を定義。
\[
f(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{1\leq i < j \leq n} (x_i-x_j)
\tag{1}
\]
この多項式は、任意の2つの変数を入れ替える(すなわち互換を行う)と、
符号が反転する交代式である。

このことを数式で考えると、いつも頭が混乱するので、
図にしてみました(クリックすると拡大します)

permutaion-parity01.png

差積に出てくる因数は i < j より、対角成分よりも上の三角形の部分。

ここで、(p q)の互換を行うと、色のついた部分だけが変化する。
このうち、黄色と緑色のところは、それぞれ場所が入れ替わるだけで、積に影響はない。
ピンクのところは入れ替わるが、その時、符号が反転する。
赤のところは符号だけが反転する。

ピンクのところは同数あるので、必ず全部で偶数個。
赤の部分一か所を加えると、符号が変わる箇所は、全部で奇数個。
というわけで、(1)で定義された差積は交代式であることが分かった。

交代式が存在することが分かれば、
任意の $S_n$ の元σで置換した交代式 f を σf と書くことにして、
σは2通りの個数の異なる互換の積で
\[
\sigma = \rho_1 \rho_2 \cdots \rho_k = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_l
\tag{2}
\]
と表されたとすると、
\[
\sigma f = (-1)^k f = (-1)^l f
\tag{3}
\]
となる。
明らかに、k と l の偶奇性は一致していなければならない。
(証明終了)

いきなり、差積なるものが出てくるから騙されたような気になってしまうのですが、
たぶん、互換によって、インデックスの前後関係が入れ替わる数(転倒数)が
どのように変化するかという傾向が決まっていて、
それを考えるのに、便宜上、差積を使うのが分かりやすいってことなのでしょうか・・・
よくわかりませんが、あんまり深入りしたくない(笑)

参考文献
[1] 志賀浩二「群論への30講」(数学30講シリーズ)
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/05/03 01:30
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。