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同値類

群論熱はどこまで続くんでしょう?
目的である回転群(連続群)のところに行きつく前に、息切れしそうです(汗)

さて、同値類について。

ある集合に対して、
直和分割が与えられれば、
それに付随する同値関係を定義することができる。


集合 A の直和分割である部分集合系を M とする。
A の任意の元 a を取ると、直和の条件 (1) $\bigcup M = A$ から、
a は必ず、M のいずれかの元 C に含まれる。
M の元は直和の条件 (2) より互いに素であるから、
a は C 以外の M の元には含まれない。

そこで、a に C を対応させて、C(a) と書き、
$C(a) = C(b)$ の時、$a \sim b$ と定義すると、
同値関係を作ることができる。


今度は逆に、
集合において、同値関係が存在すれば、
直和分割することができる。


A の元 a に対して、a と同値関係にある元をすべて集めた集合
\[
C(a) = \{x | x \in A, a \sim x \}
\]
を定義する。

反射律から、$a \in C(a)$。

$a \sim b \Leftrightarrow C(a)=C(b)$
(証明)
$\Rightarrow$ $x \in C(a)$ とすると、$a \sim x$。
$a \sim b$ だから、$b \sim x$ で、$x \in C(b)$。
よって、$C(a) \subset C(b)$。
同様に、$C(b) \subset C(a)$ でもあるから、$C(a) = C(b)$。

$\Leftarrow$ $a \in C(a)$ であるが、$C(a)=C(b)$より、$a \in C(b)$。
よって、$a \sim b$。
(証明終了)

$C(a) \neq C(b)$ ならば、$C(a) \cap C(b) = \phi$
(証明)
もし、C(a)とC(b)のどちらにも含まれる元 c が存在したとすると、
$a \sim c$ かつ $b \sim c$ なので、$a \sim b$ となり、
上記より、$C(a) = C(b)$ となるから矛盾
(証明終了)

これらから、C(a)が直和分割をなすことが分かる。

このように、同値関係によって直和分割された
部分集合系を同値類と呼ぶ。


志賀[2]のたとえ話がすごくわかりやすいです。

ある集団を国籍で類別するようなものだそうです。
無国籍や二重国籍の者はいないと仮定すると、
直和分割になっていて、(無国籍が条件(1)、二重国籍が条件(2))

各国の国旗のところに集まれ!
といって集めたものが同値類。
分かりやすい!

(ここからは、僕の勝手な想像)

この「類」という言葉を聞くと、
「類は友を呼ぶ」を彷彿とさせるんですよね。
ちょうどそんな感じですよね(笑)

普通の友達関係だと、

僕はAさんと友達で、Bさんとも友達だけで、
AさんとBさんは友達じゃない。

という状況がありえますが、同値関係だと、
僕とAさん、僕とBさんが友達ならば、
AさんとBさんも必ず、友達(推移律)

つまり、「友達の友達はみな友達」というやつですね!

そうすると、友達の関係者はすべて友達になっちゃうから、
これで類別(派閥?)ができるんですね。

・・・という勝手なイメージ(笑)


参考文献
[1] 松坂和夫「集合・位相入門」
[2] 志賀浩二「群論への30講」(数学30講シリーズ)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>集合 | コメント(0) | 2014/05/04 23:56
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