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非相対論的シュレディンガー方程式の量子化 (2)

出発点は、オイラー・ラグランジュ方程式が
非相対論的シュレディンガー方程式となるようなラグランジアン
を立てるところから。

昔の偉い人が立ててくれているので、それを使います(笑)
\[
\mathscr{L} = i\hbar \psi^* \dot{\psi}
- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla \psi^* \cdot \nabla\psi
- V(r,t) \psi^* \psi
\tag{1}
\]
どなたが見つけてくださったのかわからないのですが、ありがたいですね!

とりあえず、このラグランジアンに対するE-L方程式が
確かに、非相対論的シュレディンガー方程式
\[
i\hbar \dot{\psi} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V\psi
\tag{2}
\]
となることを確認すればいいだけ。

ここで注意すべきは、ψとψ* は独立の場として考える。
複素なので、実部と虚部の2つの自由度があるから。

まず、ψについての変分。
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
= -V\psi^*
\tag{3.1}
\]\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}
= i\hbar\psi^*
\tag{3.2}
\]\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial \psi^*}{\partial x}
\tag{3.3}
\]
これらを E-L方程式
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}} = 0
\tag{4}
\]
に代入すると、
\[
-i\hbar \dot{\psi^*} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^* + V\psi^*
\tag{5}
\]
となり、シュレディンガー方程式 (2) の複素共役が導かれる。

次は、ψ* についての変分。
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi^*}
= i\hbar\dot{\psi} - V\psi
\tag{6.1}
\]\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi^*}}
= 0
\tag{6.2}
\]\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi^*/\partial x)}
= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial \psi}{\partial x}
\tag{6.3}
\]
を E-L 方程式に代入すると、シュレディンガー方程式 (2) そのものが導かれる。


次に、正準共役な運動量を考える。

ψに共役な運動量πは、
\[
\pi = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}} = i\hbar\psi^*
\tag{7}
\]

一方、ψ*に共役な運動量π~は、
(πの複素共役になるとは限らないので、π*とは書かない)
\[
\tilde{\pi} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi^*}} = 0
\tag{8}
\]
となってしまうので、正準変数として使うことができない。

しかし、この場合、(7)式によって、ψ*をπに置き換えてしまえば、
ψとπのみで扱えるので、まったく問題がない。

シッフ[1]には、さらに詳しい注釈が書かれていますが、
そこのところは、完全に理解できているかどうか怪しいです^^;

それによれば・・・
πがψ*と等置できるのは、
シュレディンガー方程式がψの時間微分を一階までしか含んでないことに関連している。

つまり、$\dot{\psi}$ はψとその空間微分に依存するので、
ψと独立には取れないということに関係している。

もし時間に対して、二階微分ならば、(ψ, π)と(ψ*, π~)はいずれも
一対の正準共役量になるはずである。

とのことですが、分かったような分からないような・・・(汗)


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/05/05 19:49
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