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非相対論的シュレディンガー方程式の量子化 (4)

ハミルトニアンを量子化していきます。

まずは、
\[
\mathscr{H} = -\frac{i\hbar}{2m}\nabla\pi\cdot\nabla\psi -\frac{i}{\hbar}V\pi\psi
\tag{1}
\]
のπやψを数ではなく、演算子とみなす。
ここで、
\[
\pi = i\hbar \psi^*
\tag{2}
\]
の関係式を使って、πをψ*に変えておくと便利なのであるが、
演算子なので、ψ* は、複素共役ではなく、エルミート共役のψ+ になる。
\[
\pi = i\hbar \psi^\dagger
\tag{3}
\]
この置き換えを行うと、結局、ハミルトニアンは、
\[
H = \int \mathscr{H} d^3r
= \int \left( \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^\dagger \cdot \nabla\psi
+ V\psi^\dagger \psi \right) d^3r
\tag{4}
\]
となる。

πとψ+ の関係(2)を思い出すと、
ψとψ+ の間の交換関係は、
\[
[\psi(r),\psi(r')] = [\psi^\dagger(r), \psi^\dagger(r')] = 0
\tag{5.1}
\]\[
[\psi(r),\psi^\dagger(r')] = \delta(r-r')
\tag{5.2}
\]
すべて、同時刻で評価することを前提としていて、t を省略している。

次回は、この交換関係を用いて、ψの運動方程式を計算していきます。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/05/06 15:10
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