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非相対論的シュレディンガー方程式の量子化 (5)

ψの運動方程式を計算していきます。
量子化された運動方程式は、
\[
i\hbar\dot{\psi} = [\psi,H]
\tag{1}
\]
ハミルトニアンは、
\[
H = \int \left( \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^\dagger \cdot \nabla\psi + V\psi^\dagger \psi \right) d^3r
\tag{2}
\]

まず簡単そうな H の第二項との交換関係
\[
\left[ \psi, \int V'\psi^\dagger{}' \psi' d^3r' \right]
\]
を計算。
ここで、$\psi'$ などの表記は、$\psi(r')$ を簡略化した表記である。

V は数関数なので、ψなどと可換であることに注意して、
\[
\int V'(\psi \psi^\dagger{}' \psi' - \psi^\dagger{}' \psi' \psi) d^3r'
\]
可換でないのは、「ψとψ+」 の間だけだから、「ψとψ'」 や 「ψ+とψ+'」 は交換してよい。
\[
\int V'(\psi \psi^\dagger{}' - \psi^\dagger{}' \psi) \psi' d^3r'
\]
(・・・)の部分は、交換関係よりデルタ関数になり、
\[
\int V' \delta^3(r-r') \psi' d^3r' = V\psi
\tag{3}
\]
と計算できる。

次に第一項ですが、こちらはもう少し面倒。
\[
\frac{\hbar^2}{2m}
\left[
\psi, \int \nabla'\psi^\dagger{}' \cdot \nabla'\psi' d^3r'
\right]
\]
部分積分を用いると、積分のところは
\[
-\int \psi^\dagger{}' \nabla'^2 \psi' d^3r'
\]
と変形できるから(表面積分は無限遠でゼロ)、交換関係は、
\[
-\int [\psi,\psi^\dagger{}'] \nabla'^2 \psi' d^3r'
\]
となり、$[\psi,\psi^\dagger{}']$ はデルタ関数となるから、結局、
\[
-\int \delta^3(r-r') \nabla'^2 \psi' d^3r' = - \nabla^2 \psi
\tag{4}
\]
となる。

これらの結果を用いると、ψの運動方程式は
\[
i\hbar\dot{\psi} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi
\tag{5}
\]
となり、シュレディンガー方程式が導かれる。

結局、古典場の理論からでも、量子場の理論からでも
同じように、シュレディンガー方程式が得られる
という結果になる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/05/06 18:07
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