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調和振動子の行列理論 (1)

この後の話で必要なので、調和振動子の行列理論について見ておきます。
行列理論というのはブラケットを使った定式化という意味ですね。

調和振動子については、ずっと昔に、
波動関数を使った定式化について書いてましたが、
エルミート多項式が登場したところで、中途半端に終わっていました(汗)
そちらも気になってますが、先を急ぎますので、
とりあえず、行列理論を先にやります。

調和振動子のハミルトニアンは、
\[
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{K}{2}x^2
\tag{1}
\]
H を対角化するエネルギー表示を用いると、
\[
\langle k|H|l \rangle = E_k \langle k|l \rangle
\tag{2}
\]
一方、
\[
\langle k|H|l \rangle
= \frac{1}{2m}\langle k|p|j \rangle \langle j|p|l \rangle
+ \frac{K}{2} \langle k|x|j \rangle \langle j|x|l \rangle
\tag{3}
\]
j についての和の記号は省略している。
ここで、p や x はエルミート演算子だから、
\[
\langle k|p|j \rangle = \langle j|p|k \rangle^*
\]
などとなることに注意すれば、(3) の対角成分を考えると、
\[
E_k = \langle k|H|k \rangle
= \sum_j \left[
\frac{1}{2m} |\langle k|p|j \rangle|^2
+ \frac{K}{2} |\langle k|x|j \rangle|^2
\right]
\tag{4}
\]
となるから、$E_k \geq 0$ である。

$E_k = 0$ となりうるのは、すべての j に対して、
\[
\langle k|p|j \rangle = \langle k|x|j \rangle = 0
\]
となるときのみであるが、これは交換関係
\[
xp - px = i\hbar
\tag{5}
\]
の対角成分
\[
\langle k|x|j \rangle \langle j|p|k \rangle
- \langle k|p|j \rangle \langle j|x|k \rangle
= i\hbar
\]
( j についてのみ和を取り、k については和を取らない)
に反してしまう。
したがって、$E_k > 0$ すなわち
この系におけるエネルギー固有値はすべて正である。

ここからは我流のイメージ。

ハミルトニアン (1) が x と p の二乗から構成されているから、
固有値は正または0だろう。

ところが、x と p の間には不確定性があるから、
x と p が同時に0に確定してしまうことはできない。

そこで、固有値は正になる。

といったイメージでしょうか。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
調和振動子 | コメント(0) | 2014/05/13 01:19
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