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∫ 基底の完全性

前回の結果から、
エルミート演算子の固有ケットが完全正規直交系をなすので、
任意の状態ケットをこの固有ケットを基底として展開することができる。

\[
|\alpha\rangle = \sum_{a'} c_{a'} |a'\rangle
\]

左から < a" | を掛けると、固有ケットの正規直交性から
\[
c_{a'} = \langle a'|\alpha \rangle
\]

これを元の展開式に代入すると、
\[
|\alpha\rangle = \sum_{a'} |a'\rangle \langle a' |\alpha \rangle
\]
と書ける。

この式を
\[
|\alpha\rangle = \left[ \sum_{a'} |a'\rangle \langle a' | \right] \alpha \rangle
\]
というように見てやると、

$\sum_{a'} |a'\rangle \langle a' |$ が恒等演算子に見えてくる。

つまり、
\[
\sum_{a'} |a'\rangle \langle a' | = 1
\]

この式は、基底の完全性を表す式である。
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物理>量子力学 | コメント(0) | 2012/05/29 00:52
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