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高校時代の疑問 (1) 微分方程式の謎

先日の記事で言っていた高校時代に抱いていた疑問、その1です。

最近は指導要領から消えてしまったという話も聞きますが、
昔は高校数学の最後の総仕上げに
変数分離形の微分方程式がありました。

典型的には、こんな感じの問題(a は定数)
\[
f'(x) = a f(x)
\tag{1}
\]
当時よく目にしていた模範解答はというと・・・

$f(x) = 0$(恒等的にゼロ)ならば、$f'(x)=0$ であるから、方程式 (1) を満たすので、
$f(x) = 0$ は解である。

次に、$f(x) \neq 0$ であるとすると、
\[
\frac{f'(x)}{f(x)} = a
\tag{2}
\]
両辺を x で積分して、
\[
\ln |f(x)| = ax + C_0
\tag{3}
\]
よって、
\[
f(x) = C_1 e^{ax}
\tag{4}
\]ただし、$C_1 = \pm e^{C_0}$。

$f(x)=0$ は、(4) の解の $C_1 = 0$ の場合に含まれる。
ゆえに、$C_1$ を任意の定数として、一般解は (4) である。
以上。

という感じだったと記憶しています。
これで何も感じなかった方はそれでよいのですが、
僕は疑り深い性格なもので・・・(笑)

上の場合分けだと、
$f(x)$ が恒等的にゼロになるとは限らないが、どこか一点 $x=a$ でゼロとなる場合
を想定してませんよね!

この疑問に関してはまだ、厳密に解消できていないのですが、
おそらく以下のようなことではないかと思っています。

たとえば、ある一点 $x=a$ ではゼロとなる、すなわち $f(a)=0$と仮定してみる。
すると、これは解 $f(x)=0$(恒等的)の曲線上に存在するので、
解の一意性定理から、この点を含む解は必ず、$f(x)=0$(恒等的)となる。

という論理が前提されているのではないでしょうか?

解の一意性定理についても勉強してないので、よく分からないのですが、
手元の本をちらっと眺めると、微分方程式
\[
y' = F(x, y)
\tag{5}
\]の右辺の$F(x,y)$が有限領域で一価連続で有界でリプシッツ条件を満たせば一意性が保証される
と書いてあります。

この問題の式 (1) では、$F(x,y) = ay$ なので、わりと素直な関数でしょうけど、
そもそも、「有限領域」では考えていないような気が・・・
大丈夫なのでしょうか?
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>高校+α | コメント(2) | 2014/05/30 13:09
コメント
NoTitle
「右辺のF(x,y)が有限領域で一価連続で有界でリプシッツ条件を満たせば一意性が保証される
と書いてあります。」

F(x,y)が連続で y に関して局所的リプシッツならば存在かつ一意になると思います。局所的リプシッツの重要な例は一回連続微分可能です。応用上は y に関して一回連続微分可能と覚えておけばほぼ足りると思います。すなわち、F(x,y) と ∂_y F(x,y) がともに (x,y) に関して連続ならば、与えられた初期条件を満たす解が存在し、一意である(二つあっても定義域の共通部分で等しい)。
「有限領域」はぜんぜん本質的でないです。

ポントリャーギン「常微分方程式」第4章に詳しい解説があります。

いもむしさんへ
いつも、教えていただき、ありがとうございます。

「局所」で満たしていればOKなんですね!
「有限領域」というのは、「局所」のことが言いたかったのかもしれません。

一回連続微分可能であればいいのであれば、
このケースでは大丈夫ですね!
スッキリしました。

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