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高校時代の疑問 (2) 気体分子運動論の謎

高校時代に抱いていた疑問シリーズ、その2。

今回は、疑問でも謎でもなんでもなく、
高校時代に既に解決していて、単なる教科書への不満です。
こんなこと書いてたら、分からんやろーー!!!って話です(笑)

熱力学で登場する気体分子運動論の話。

一辺の長さ $L$ の立方体の箱を想定して、
その中を運動する一つの気体原子(一原子分子)を考える。

ある瞬間、気体原子の速度の $x$ 成分を $v_x$ とする。
壁で衝突すると、弾性衝突を仮定すれば、
この原子は衝突後、逆方向に同じ速度で運動する。
つまり、速度の $x$ 成分は、$-v_x$ となる。

原子の質量を $m$ とすると、衝突前後における運動量の $x$ 成分の変化は
\[
\Delta p_x = m(-v_x) - mv_x = -2mv_x
\tag{1}
\]
この運動量変化は、壁との衝突により、壁から受けた力積によるものである。

ここまではいいのですが、この後、教科書ではこのように続きます・・・

両端の壁との往復時間は、$2L/v_x$ であるから、
時間 $\Delta t$ の間に、一方の壁には
\[
\frac{\Delta t}{2L/v_x} = \frac{v_x\Delta t}{2L}
\]回衝突する。
よって、気体原子が壁から受ける力を $F$ とすると、
\[
-F \Delta t = \frac{v_x\Delta t}{2L} \times ( -2mv_x)
\tag{2}
\]すなわち、
\[
F = \frac{mv_x^2}{L}
\tag{3}
\]
そして、この後、N 個の原子について足し合わせて、
マクロの状態方程式との関連を論じていきます(そこは省略)

これを高校時代初めて読んだ時、
頭が????になって、ちょっと待って下さい!
という感じでした。

なぜなら、力が働いているのは、ほんの一瞬の衝突の瞬間だけで、
この $\Delta t$ の時間のほとんどは壁と壁の間を飛行している時間ですよね。

$F$ を求めるのに、この $\Delta t$ で割っていいの???

当時はかなり悶々としましたが、解決してくれたのはZ会の解説でした。
(さすが、Z会!笑)

ここはおそらく、以下のようにすべきだと思います。

箱の中には$N$ 個の原子が存在するとすると、
$\Delta t$ の間に壁が与える全体の力積 $I$ は
\[
I = N \frac{m \langle v_x^2 \rangle }{L} \Delta t
\tag{4}
\]
ただし、$v_x$ は個々の原子によって異なるため、統計平均を取った。

ここで、$N$ は $10^{23}$ 程度の巨大な数なので、
統計的ふるまいをすると考えてよい。
一個一個の原子に関しては、衝突している間は一瞬であるが、
全原子を考えた時には、定常的にいずれかの原子が壁に衝突していて、
その衝突箇所も壁の中でランダムな位置に衝突しているので、
マクロで見た時には、時間的・空間的に一様に力が働いていると考えてよい。
その一様な力を $F$ とすると、
\[
I = F \Delta t
\tag{5}
\]
あとは、(4) と (5) を等値して、以下は同じ変形になります。

何がポイントかいうと・・・
力積のまま、原子集団で統計的に足し合わせてしまうというところです。
これは何の問題もないわけです。

しかし、まだ1個の状態で力積から力に変えてしまうと、
1個1個に加わっている力は、瞬間瞬間の撃力的な力であって、
しかも、空間的に衝突箇所も局所的
なわけなので、
思い描くイメージと合わなくなるんです。

不思議なことに、初めに書いた教科書のような説明が
あちこちで見受けられるんです。

もちろん、書いた人は、統計的な解釈を踏まえたうえで書いている
ということは十分に分かってるんですよ。

大学レベルの物理をやっている人間になら、適当にそのあたりは
補完的解釈できるから、それでよいのですが、
まだ物理脳になりきっていない高校生に、この説明で理解しろ!
というのは、ちょっと無理があるかなあと思います。

というわけで、久しぶりに、気体分子運動論を思い出しました(笑)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>高校+α | コメント(0) | 2014/06/02 12:45
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