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調和振動子の行列理論 (3)

だいぶ間が空いてしまいましたが、
調和振動子の行列理論の続き。

前回のこの式から
\[
\left[
\begin{array}{cc}
E_l - E_k & -i\hbar/m \\
i\hbar K & E_l -E_k
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\langle k|x|l \rangle \\
\langle k|p|l \rangle
\end{array}
\right] = 0
\tag{1}
\]
今度は、1行目に $-im\omega_c$ を乗じて、2行目を加えると、
\[
(E_l - E_k - \hbar\omega_c) \langle k |(p - im\omega_c x)| l \rangle = 0
\tag{2}
\]
この式変形じたいはいたって簡単なのですが、
数学的にはいったい何をやってるんだろう???
ということが分からずに時間がかかっていました。

つまり、前記事の変形では、
非自明な解が存在するために、行列式がゼロという条件を置いたわけですが、
今回は、線形代数的にどういう操作をやってるのかが分かりません。

まあ、結局分からずじまいですが、
とりあえず、あまりこだわるのはやめて、先に進むことにします。

式(2)を見ると、この行列要素が非零になりうるのは、
\[
E_k = E_l - \hbar\omega_c
\tag{3}
\]
の場合だけである。
つまり、演算子 $p-im\omega_c x$ は、エネルギー固有状態を 
$\hbar\omega_c$ だけ低いエネルギー固有状態にする働きをもつ。


ところで、調和振動子のエネルギー固有値は必ず正であったから、
ある最低エネルギー固有状態 $|0\rangle$ が存在して、
\[
(p - im\omega_c x)|0\rangle = 0
\tag{4}
\]とならなければ、矛盾が生じる。
この両辺に演算子 $p+im\omega_c x$ を施して、
\[
(p + im\omega_c x)(p - im\omega_c x)|0\rangle = 0
\tag{5}
\]
交換関係 $[x,p] = i\hbar$ を用いて整理すると、
\[
\left( H - \frac{1}{2}\hbar\omega_c \right) |0\rangle = 0
\tag{6}
\]となり、
\[
H |0\rangle = \frac{1}{2}\hbar\omega_c |0\rangle
\tag{7}
\]となる。つまり、基底状態 $|0\rangle$ のエネルギーは $\hbar\omega_c/2$ である。

今度は、(2)を導いたのと同様の手法で、1行目に $+im\omega_c$ を乗じて、2行目を加えることにより、
\[
(E_l - E_k + \hbar\omega_c) \langle k |(p + im\omega_c x)| l \rangle = 0
\tag{8}
\]という結果を得、行列要素が非零となるのは、
\[
E_k = E_l + \hbar\omega_c
\tag{9}
\]の場合に限るから、演算子 $p+im\omega_cx$ は、エネルギー固有状態を 
$\hbar\omega_c$ だけ高いエネルギー固有状態にする働きをもつ。

この演算子を順次、$|0\rangle$ に施していくことにより、$|1\rangle, |2\rangle, \cdots, |n\rangle, \cdots$ と、
エネルギー固有値が $\hbar\omega_c$ 間隔のエネルギー固有状態を作ることができる。
この時、$|n\rangle$ に対するエネルギー固有値は、
\[
E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega_c
\tag{10}
\]である。

これらの演算子に係数をかけて無次元化したものを上昇演算子・下降演算子と呼ぶ。

上昇演算子
\[
a^\dagger = -\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} ( p + im\omega_c x)
= \sqrt{\frac{m\omega_c}{2\hbar}} x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} p
\tag{11.1}
\]
下降演算子
\[
a = \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} ( p - im\omega_c x)
= \sqrt{\frac{m\omega_c}{2\hbar}} x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} p
\tag{11.2}
\]
x と p はエルミートであるから、$a$ と $a^\dagger$ はエルミート共役の関係にあることが分かる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
調和振動子 | コメント(0) | 2014/06/19 12:43
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