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調和振動子の行列理論 (4)

上昇演算子
\[
a^\dagger = -\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} ( p + im\omega_c x)
\tag{1.1}
\]下降演算子
\[
a = \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega_c}} ( p - im\omega_c x)
\tag{1.2}
\]
の積を考える。交換関係 $[x,p] = i\hbar$ を使って計算すると、
\[
a^\dagger a = \frac{H}{\hbar\omega_c} - \frac{1}{2}
\tag{2.1}
\]\[
a a^\dagger = \frac{H}{\hbar\omega_c} + \frac{1}{2}
\tag{2.2}
\]
となる。ここで、ハミルトニアンは
\[
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega_c^2}{2}x^2
\tag{3}
\]である。
$a$ と $a^\dagger$ の交換関係は(2)より明らかに、
\[
[a, a^\dagger] = 1
\tag{4}
\]
また、(2.1)より
\[
H = \left( a^\dagger a + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega_c
\tag{5}
\]となり、$|n\rangle$ のエネルギー固有値は
\[
E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega_c
\tag{6}
\]であったから、$a^\dagger a$ の固有値は $n$ となる。
\[
a^\dagger a |n\rangle = n |n\rangle
\tag{7}
\]このため、$a^\dagger a$ は個数演算子と呼ばれる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
調和振動子 | コメント(0) | 2014/07/08 12:34
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