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ボーズ粒子

個数演算子
\[
N_k = a_k^\dagger a_k
\tag{1}
\]
の時間発展を与える運動方程式を考える。
\[
i\hbar \dot{N_k} = [ N_k, H ]
\tag{2}
\]
ハミルトニアンは、
\[
H = {\Large \int} \left( \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^\dagger \cdot \nabla\psi + V\psi^\dagger \psi \right) d^3r
\tag{3}
\]
であり、$\psi$や$\psi^\dagger$を生成・消滅演算子を用いた表式
\[
\psi(r,t) = \sum_k a_k(t) u_k(r)
\tag{4.1}
\]\[
\psi^\dagger(r,t) = \sum_k a_k^\dagger(t) u_k^*(r)
\tag{4.2}
\]
で置き換えると、
\[
H = \sum_j \sum_l a_j^\dagger a_l {\Large \int}
\left( \frac{\hbar^2}{2m} \nabla u_j^* \cdot \nabla u_l + V u_j^* u_l \right) d^3r
\tag{5}
\]
∇の項に部分積分を適用すると、
\[
H = \sum_j \sum_l a_j^\dagger a_l {\Large \int}
u_j^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) u_l d^3r
\tag{6}
\]
括弧の中は、一粒子ハミルトニアンであり、
状態 k との間の非対角要素がゼロである場合には、
\[
\dot{N_k} = 0
\tag{7}
\]
となる。
状態 k からの遷移確率がゼロであるから、
状態 k を占める粒子数 $N_k$ は保存する

と解釈できる。

ここで、特に、$u_j$, $u_l$ がエネルギー固有状態である場合を考えると、
(6)の積分は、$E_j \delta_{jl}$ となるから、
\[
H = \sum_k a_k^\dagger a_k E_k = \sum_k N_k E_k
\tag{8}
\]
となり、$N_k$ と $H$ は同時に対角化できる。
この時、状態 $|n_1, \cdots, n_k, \cdots \rangle$ に対する全エネルギーは、
\[
E = \sum_k n_k E_k
\tag{9}
\]
となり、「各状態のエネルギー×状態を占める粒子数」を足し合わせたもの
という自然な結果になっている。

これで、ボーズ粒子に対しては記述できました。
次は、フェルミ粒子なのですが、ちょっとややこしそう・・・

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/08/15 18:19
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