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∫ 演算子の行列表現

半年ぶりですが、量子力学の続き。

「線形写像の行列表現」で書いた数学的手法を応用して、
量子力学における演算子を行列で表現します。

前記事の結論だけをもう一度書くと、

基底として正規直交基底を選んでおけば、線形写像Tは、
\[
a_{ij} = ( {\bf e'}_i, T{\bf e}_j )
\]
で定義される行列で表現できる。

ということでした。

エルミート演算子の固有ケットは、正規直交系をなすので、
これらの固有ケットを基底に取れば、上記の結果が使えるってわけです。

たとえば、エルミート演算子Aの固有ケット |a'>, |a''>,・・・ を用いて、
別の演算子 X を行列で表現することを考えると、

e'j → |a'>
ej → |a''>
T → X
に対応させてやると、
\[
x_{a'a''} = \langle a'|X|a'' \rangle
\]
という成分を持つ行列 X = [ xa'a'' ] で表現できることになる。


サクライ先生は、このことを正規直交基底の完全性の式だけを使って、
非常にシンプルに導出しています。
\[
\sum_{a'} |a'\rangle\langle a'| = 1
\]
は、恒等演算子だから、任意の場所に挿入できるので、
< α | X | β > という式に挿入してみると・・・
\[
\langle \alpha|X|\beta\rangle
= \sum_{a'} \sum_{a''} \langle \alpha | a' \rangle \langle a'|X|a'' \rangle\langle a''|\beta \rangle
\]

この式を・・・
\[
\langle \alpha|X|\beta\rangle
= \sum_{a'} \sum_{a''}
\left[ \langle \alpha | a' \rangle \right] \cdot
\left[ \langle a'|X|a'' \rangle \right] \cdot
\left[\langle a''|\beta \rangle \right]
\]
というように見てやると、

< α | a' >は、ベクトル<α| の a' 成分。
< a'' | β >は、ベクトル|β> の a'' 成分。

と見ることができて、

< a' | X | a'' >を行列 X の a'a''成分とみなすことにすると、

式全体は、
[行ベクトル α] × [行列 X] × [列ベクトル β]
と見ることができる!

なんてエレガントな導出法なんでしょう!!!

基底の完全性の式は、ほんとに魔法のようですね!
ディラックのブラケット表示がそれだけ素晴らしいということなんでしょうけど・・・

ところで、サクライ先生の教科書「現代の量子力学」には、
一言、こんな注釈が書かれています。

The operator is different from a representation of the operator
just as the actress is different from a poster of the actress.

「演算子」と「演算子の行列表現」とは別物である。
「女優」が「女優のポスター」とは別物であるように・・・

この例えがあまりにも分かりやすくて、思わず笑ってしまいましたよ(笑)

まあ、今どきなら・・・

2Dの女の子と3Dの女の子は違うんだよ!!!

と言った方が伝わるかもしれませんね!
・・・って、何の話だ、いったい!?(爆)



参考文献
J.J. Sakurai "Modern Quantum Mechanics"
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物理>量子力学 | コメント(2) | 2013/02/05 23:43
コメント
はじめまして。初代ウルトラマンが放送されていた頃に幼稚園児だった(笑)もみじぃと申します。
いちおう化学科を卒業していまして、約30年前の学生時代には量子力学の初歩も学んだはずなのですが、「わけわからん」状態でした^^;
生涯の目標として、場の量子論のエッセンスだけでも理解したいというのがありますが、遠い遠い道のりと思われます。
この記事も、正直申しましてほとんどわかりませんが、いずれは質問などさせていただければと思いますので、そのときはどうぞよろしくお願いいたします。 m(_ _)m
もみじぃさんへ
>はじめまして。
はじめまして。コメントいただき、ありがとうございます!
>初代ウルトラマンが放送されていた頃に幼稚園児だった(笑)もみじぃと申します。
初代ウルトラマンって、いつ頃でしょう???(笑)

>いちおう化学科を卒業していまして、約30年前の学生時代には量子力学の初歩も学んだはずなのですが、「わけわからん」状態でした^^;
おお、そうなんですね!
量子力学についてお話できる方が訪問してくださるなんて嬉しい限りです^^
>生涯の目標として、場の量子論のエッセンスだけでも理解したいというのがありますが、遠い遠い道のりと思われます。
僕と同じではないですか!?
僕も死ぬまでになんとか、場の量子論に一定の理解を得たいなあと・・・
いやいや、遠い遠い道のりですが、お互い頑張りましょう!(汗)
>この記事も、正直申しましてほとんどわかりませんが、いずれは質問などさせていただければと思いますので、そのときはどうぞよろしくお願いいたします。 m(_ _)m
質問にお答えできるかどうか分かりませんが、
一緒に悩ませていただきます(笑)
ブログの方もちらっと拝見させていただきました。
ピアノも弾いていらっしゃるんですね!
ピアノ記事の方でも、よろしくお願いします^^

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