FC2ブログ

フェルミ粒子 (1)

続いて、フェルミ粒子を記述します。

フェルミ粒子の場合は、正準量子化の条件において、交換子を反交換子
\[
\{A, B\} = AB + BA
\tag{1}
\]
に置き換えることで記述できるそうです。
Jordan と Wigner という人が見つけたそうですが、よくこんなの見つけますね(笑)

正準量子化の条件は、
\[
\{ \psi(r), \psi(r') \} = \{ \psi^\dagger(r), \psi^\dagger(r') \} = 0
\tag{2.1}
\]\[
\{ \psi(r), \psi^\dagger(r') \} = \delta^3(r-r')
\tag{2.2}
\]となる。
ボーズ粒子の時と同じように、生成・消滅演算子で表して、まったく同じような計算を行うと、
生成・消滅演算子についても交換関係が反交換関係に置き換えられる。
\[
\{a_k, a_l \} = \{ a_k^\dagger, a_l^\dagger \} = 0
\tag{3.1}
\]\[
\{ a_k, a_l^\dagger \} = \delta_{kl}
\tag{3.2}
\]
ここで、同様に個数演算子を
\[
N_k = a_k^\dagger a_k
\tag{4}
\]と定義してやると、まず、$N_k$同士が可換であることが分かる。

実は、一瞬、
反交換関係を有しているのに、通常の交換において、ほんとに可換?
と疑ってしまいましたが、実際に計算してみると可換でした^^;

$N_k$ と $N_l$ について、$k = l$ の場合は自明なので、
$k \neq l$ の場合を考える。
細かくは書きませんが、
\[
[ N_k, N_l ] = a_k^\dagger a_k a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger a_l a_k^\dagger a_k
\tag{5}
\]において、$a_k$、$a_k^\dagger$ 各々について、
$a_l$ 及び $a_l^\dagger$ と交換する時にそれぞれ符号が反転するものの、
計2回の交換で符号は元に戻るため、交換関係はゼロとなる。

というわけで、$N_k$ は同時に対角化可能であり、
ボーズ粒子と同様、各状態 k の粒子数が確定した状態
$|n_1, \cdots, n_k, \cdots \rangle$ といったものを考えることができる。

$N_k$ の固有値 $n_k$ が必ず、0か1に限られるということを次に示していく。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
スポンサーサイト



ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/08/27 12:30
コメント

管理者のみに表示