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フェルミ粒子 (2)

フェルミ粒子の場合、
$N_k$ の固有値 $n_k$ が0か1に限られる
すなわち、同一状態には一個しか入れないというパウリの排他原理を導きます。
\[
N_k = a_k^\dagger a_k
\tag{1}
\]より、
\[
N_k^2 = a_k^\dagger a_k a_k^\dagger a_k
\tag{2}
\]反交換関係より、
\[
a_k a_k^\dagger = 1 - a_k^\dagger a_k
\tag{3}
\]\[
a_k^2 = a_k^\dagger{}^2 = 0
\tag{4}
\]であることに注意すると、
\[
N_k^2 = a_k^\dagger a_k = N_k
\tag{5}
\]となる。
$N_k$ と $N_k^2$ は明らかに可換だから、同時対角化可能であり、
同時固有状態を有する。その時の固有値を考えると、
\[
n_k^2 = n_k
\tag{6}
\]となり、この解は、
\[
n_k = 0, 1
\tag{7}
\]に限られる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/08/28 12:43
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