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フェルミ粒子 (3)

個数演算子 $N_k$ を対角化した表示(N表示)を考える。
簡単のために、k で表される状態が一つだけの場合を考え、添え字を省略する。
\[
N = a^\dagger a
\tag{1}
\]
反交換関係から、
\[
a^\dagger a + aa^\dagger = 1
\tag{2.1}
\]\[
a^2 = a^\dagger{}^2 = 0
\tag{2.2}
\]
N の固有値は、0と1のみであるから、
演算子 N の N表示は、
\[
N = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]
\tag{3}
\]この時、それぞれの固有状態は
\[
|0\rangle = \left[
\begin{array}{c}
1 \\ 0
\end{array}
\right],
\hspace{2cm}
|1\rangle = \left[
\begin{array}{c}
0 \\ 1
\end{array}
\right]
\tag{4}
\]
次に、$a$ や $a^\dagger$ の N表示を求めたい。

どうやるのかな・・・と思っていたら、
これは、シッフ[1]上巻の演習問題になっていて、[2]に解答が掲載されていました。
成分計算して、力技でやるようです(笑)
\[
a = \left[
\begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array}
\right]
\hspace{2cm}
a^\dagger = a^*{}^T = \left[
\begin{array}{cc}
p^* & r^* \\
q^* & s^*
\end{array}
\right]
\tag{5}
\]とおくと、(1)、(3) より
\[
\left[
\begin{array}{cc}
p^* & r^* \\
q^* & s^*
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]
\tag{6}
\]\[
|p|^2 + |r|^2 = 0
\tag{7.1}
\]\[
|q|^2 + |s|^2 = 1
\tag{7.2}
\]\[
p^*q + r^*s = 0
\tag{7.3}
\]
(7.1) より、 $ p = r = 0 $ で、(7.3) は自動的に満たされる。
(7.2) の条件付きで、
\[
a = \left[
\begin{array}{cc}
0 & q \\
0 & s
\end{array}
\right]
\hspace{2cm}
a^\dagger = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
q^* & s^*
\end{array}
\right]
\tag{8}
\]となる。これらに冪零の条件 (2.2) を適用すると、
$qs = 0$ かつ $s = 0$ となり、結局、$s=0$ でなければならない。
\[
a = \left[
\begin{array}{cc}
0 & q \\
0 & 0
\end{array}
\right]
\hspace{2cm}
a^\dagger = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
q^* & 0
\end{array}
\right]
\tag{9}
\]
これと、(7.2) の条件\[
|q|^2 = 1
\tag{10}
\]を用いると、(2.1) の条件式は自動的に満たされることが分かる。
最終的に、$a$ と $a^\dagger$ のN表示は、
\[
a = \left[
\begin{array}{cc}
0 & e^{i\theta} \\
0 & 0
\end{array}
\right]
\hspace{2cm}
a^\dagger = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
e^{-i\theta} & 0
\end{array}
\right]
\tag{11}
\]
となり、位相因子を1とすると、
\[
a = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]
\hspace{2cm}
a^\dagger = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}
\right]
\tag{12}
\]となる。
ゼロでない成分は、
\[
\langle 0|a|1 \rangle = \langle 1|a^\dagger|0 \rangle = 1
\tag{13}
\]のみであり、フェルミ粒子においても、
$a$ が $|1\rangle \rightarrow |0\rangle$ を表す消滅演算子
$a^\dagger$ が $|0\rangle \rightarrow |1\rangle$ を表す生成演算子
になっていることが分かる。
この関係は、
\[
a|n\rangle = n|1-n\rangle
\tag{14.1}
\]\[
a^\dagger|n\rangle = (1-n)|1-n\rangle
\tag{14.2}
\]と書くこともできる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」
[2] 三枝 寿勝・瀬藤 憲昭 「量子力学演習―シッフの問題解説 」
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物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/08/28 12:50
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